質問ありがとうございます。

授業で習ったことをしっかり覚えていて、さらに深く考えていて素晴らしいですね。
結論から言うと、「ア（永遠の別れ）」も間違いではありません。

りさんの学校の授業で先生がおっしゃったように、この和歌には「掛詞（かけことば）」という技法が使われていて、二重の意味が込められていると解釈するのが一般的だからです。
では、なぜこの問題の正解が「エ」になっているのか、そしてテストではどう考えればいいのかを解説しますね。

1. 「遠く」に込められた二つの意味
この和歌の「遠く」には、掛詞として以下の二つの意味が含まれています。
物理的な距離（場所）： 土佐という遠い場所。
心理的な距離（時間・生死）： 亡くなってしまった娘との、遠く隔たってしまった距離（永遠の別れ）。
なので、りさんの言う通り、「ア（永遠の別れ）」も「エ（土佐での死別）」も、どちらも作者の心情としては正しいです。

2. ではなぜこの問題では「エ」が正解なのか？
この問題のポイントは、「遠く」という言葉が直接的に修飾している状況が問われている点にあります。

本文の、文脈をもういちど確認してみます。
「もしも、亡くなった娘が（松のように千年も生きて）ここにいたならば、（土佐という）遠くで、（死別するという）悲しき別れをしただろうか？ いや、しなかっただろう」
この歌の表向きの構図（反実仮想）は、「もし娘が生きていたら、土佐であんな悲しい別れをすることはなかったのに」という、「土佐での出来事」を悔やむものですね。
そのため、選択肢の中で最も直接的かつ具体的な状況を説明している「エ（土佐での娘との死別）」が、この問題では「最適解」としています。

3. 実際のテストでの考え方
とはいえ、定期テストでは「その学校の先生の解釈」が正解の基準になることがあります。
もし授業で、先生が「『遠く』には『永遠の別れ』という意味が込められている点が重要だよ」と強調されていた場合は、「ア」も正解、あるいは「アとエの両方を選ぶ」ことが正解になる可能性があります。

この練習問題では、文脈上の具体的な出来事を指す「エ」を正解としていますが、学校のテストでは、先生が授業で解説したポイント（掛詞の意味など）を最優先して答えてください。
「二つの意味がある」と習ったのであれば、記述問題で「土佐という物理的な遠さと、死別による心理的な遠さの両方の意味が込められている」と答えるのがおすすめです。

りさんのご指摘をもとに、問題文の表現を少し変えて、さらに解説にも詳しく書いておきますね。
このようなご指摘をいただけると、とても助かります。
またなにかありましたら、いつでもコメントお待ちしております。