結論から言うと、もっちゃんさんがおっしゃる通り、これは集合の関係式として「不適切」 というよりは、「要素の個数を表す式」と「集合そのものを表す関係式」を混同してしまっている、と理解するのが良いかと思います。

これまでお話ししてきたように、

集合の関係式: 集合そのものの「含まれる」「含まれない」「合わさる」「共有する」といった関係を、記号（∪、∩、Ā など）を使って表します。
この世界では、私たちが普段使う「+」や「-」といった計算記号は、通常は使いません。

要素の個数を表す式: 集合の中に「何個の要素があるか」を数えるときに、私たちが慣れ親しんだ計算記号「+」「-」などを使います。

もっちゃんさんが例に挙げられた「A ∪ B = A + B – A ∩ B」という式は、数学では一般的に 集合の要素の個数 を表すときに使われる、とても大切な公式です。

なぜ個数を表す式なのか？
これは、ベン図で考えてみると分かりやすいです。

A の要素の個数 （|A|）だけを見ると、A の円の中にある全ての要素が含まれます。
B の要素の個数 （|B|）だけを見ると、B の円の中にある全ての要素が含まれます。

ここで、もし単に「|A| + |B|」と足し算してしまうと、A と B の両方に共通して含まれる要素（つまり、共通部分 A ∩ B に含まれる要素）が、二重に数えられてしまいます。
例えば、A がリンゴの集合、B が赤いものの集合だとします。赤いリンゴは「リンゴ」でもあり「赤いもの」でもあるので、二重に数えてしまいますよね。
そこで、二重に数えられた分を一度だけ引くために、共通部分 A ∩ B の要素の個数 （|A ∩ B|）を引くのです。
つまり、
|A ∪ B| = |A| + |B| – |A ∩ B|
が、「A または B に含まれる要素の個数」 を正しく数えるための公式になります。

なので、「A ∪ B = A + B – A ∩ B」という表記は、集合の「関係」ではなく、その集合の「要素の個数」を表す式として理解するのが正しいです。

差集合における「-」記号について

ご質問の通りです。
集合 A から集合 B を引くときの「-」は、私たちが普段使う「マイナスの計算記号」とは少し違います。これは、集合演算子としての「差集合」を表す特別な記号です。
この「-」記号が使われている場合は、「集合 A に含まれるけれど、集合 B には含まれない要素だけを集めた新しい集合」を作る、という操作を表しています。

例：
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 4}
このとき、
A – B = {1, 3, 5}
となり、これは集合の関係を表す記号として使われています。