質問をありがとうございます。

結論から申し上げますと、見つけてくださった「手紙は一日に二通来ることもあり……」という文も、お父さんが「筆まめ」であることを示す根拠として正解です。
お調べいただいたように、「筆まめ」には、「面倒くさがらずに、よく手紙を書く」という意味があります。
ご指摘の通り、「一日に二通も書く」「かなりの数を書く」というのは、まさにお父さんが筆まめであることの決定的な証拠ですね。

サイトに掲載していた解答の２つは、
頻度（三日にあげずよこした）
丁寧さ（文面も折り目正しく細かいまで書いてあった）
という、「筆まめ」の持つ「回数が多いこと」と「内容をしっかり書くこと（マメであること）」の両面を表す文として選定していました。

しかし、選んでいただいた文も、「回数の多さ・熱心さ」を示す立派な答えになります。

学校のテストなどで、もし範囲の指定がない場合は、この文を選んでも正解になります。
本文をすみずみまで読み、言葉の意味と照らし合わせて根拠を見つけられた素晴らしい着眼点だと思います。

本文の問題は、「第三段落までの間で探す」という範囲を指定することで、今回は答えが２つとなるように修正させていただきます。
ご指摘いただいてとても助かりました。
また何か疑問があればいつでもコメントをお待ちしています。