「整式の乗法」と「指数法則」
教科書にはなんて書いてあるの？？
文字aをいくつか掛けたものを「aの累乗」という。
「aをn個掛けた累乗」を\(a^n\)（aのn乗）と書き、nは指数という。
くまごろう太郎くんは「\(ｘ^2\)」のことはなんて読んでいるかな？
そう、「ｘの２乗」だよね。
教科書くんこれと同じことだよ(笑)
「\(ｘ\)かける\(ｘ\)」というように、\(ｘ\)を２個掛けたものを\(ｘ^2\)と書いているし、
「ｘの２乗」という言葉ももう使ってきているよね。
指数法則の用語を説明！
累乗・指数とは？
でも、ここで新しく登場する言葉もあるね。
「累乗（るいじょう）」と「指数」だね。
累乗とは？
ザックリいうと
同じものを「累（かさねて）乗（かける）」ということ！
「累」という漢字は、糸の上に田という字が乗っているね。
これはもともとは田が３つ乗っていたんだ。
「糸をかさね合わせて太いより糸にしていく」様子がもとになっているんだよ。
３つの田はそれぞれ「小さなかたまり」を表している。
だから、「累」は「かさねる」という意味を持っている んだ。
「乗」は「乗法」という言葉で使っているとおり、「かける」という意味 だよね。
つまり、「累乗」とは「かさねて、かける」ということだよ。
「ｘの累乗」は、「ｘをかさねてかけた」ものなんだ。
つまり、「ｘをくりかえし何個かかけたもの」だね。
くまごろう「同じもの（ｘならｘだけを）をかさねてかける」ということ。
指数とは？
ザックリいうと
「何回」かさねてかけるのかを指示する数のこと！
「指数」の「指」という字も皆はよく使っているよね。
例えば、「指示」なんて言葉で使われているね。
「指示」は「指し示す」という意味。
「こうして」と誰かに命令したり、教えたりするときに使う ね。
「\(ｘ\)の累乗」は「\(ｘ\)を何個かかさねてかける」という意味だったね。
でも、「\(ｘ\)の累乗」だけだと、肝心の「\(x\)を何個かけるのか」が分からないよね。
太郎だから、「何個かけるのか？」を伝える「指示」が必要になるんだ。
\(ｘ^2\)は、「\(ｘ\)の累乗で、かける回数は２回だよ！」と
指示しているということなんだ。
指示するための数だから、「指数」なんだ。
ちなみに、この時のｘは「底数」と呼ぶんだ。
「底」は「底力」でピンと来ないかな？
「底力」って、「その人のもともと持っていた力のマックス」
という意味だよね。
「底」は「もともと」、つまり「基本」という意味があるんだ。
「\(ｘ\)の累乗」の「\(ｘ\)」は、いわば主役だよね。
\(ｘ\)は基本となるキャラクターなんだよ。
だから「基本となる数」＝「底数」と呼ぶ んだ。
でも、いちいち指数とか累乗とか使わなくても、\(ｘ\)かける\(ｘ\)でいいんじゃない？
なんで勉強が必要なの？
くまごろう
「\(ｘ\)を100回かける」を「\(ｘ^100\)」と書くだけで済ませられるなんて、累乗と指数はとても便利だね！
指数法則とは？
言葉にすれば、理解するのはカンタン！
ザックリいうと
指数を持っている数同士を計算するときのルール！
さあ、これで用語の意味は分かったかな？
では、こんどは指数法則とはなにか見ていこう。
「指数」は累乗するときの「指示するための数」だったよね。
この「指数」を持っている数同士を計算するとき、「指数はどうなっちゃうの？」
ということをまとめたのが「指数法則」だよ。
覚える指数法則は、３つだけなんだ。
指数法則、
この3つのルールを覚えよう！
①\(a^m×a^n＝\)\(a^{m+n} \)
（累乗の積は、指数の和）
②\((a^m)^n＝a^{mn}\)
（累乗の累乗は、指数の積）
③\((aｂ)^n＝a^nｂ^n\)
（積の累乗は、累乗の積）
くまごろう①を例で考えてみるね。
\(a^2×a^3＝a^{2+3}\)
つまり、
累乗同士をかけたときは、答えの指数は、かけた累乗それぞれの指数の足し算だよ！
ということを言っているんだ。
「それって本当？」という気もするよね。
試してみよう。
\(a×a\)（\(a\)が２個）\(×a×a×a\)（\(a\)が３個）
\(＝a×a×a×a×a\)（\(a\)が５個）
\(＝a^5\)
確かに答えの指数「\(5\)」は、かけた累乗それぞれの指数を足した「\(2+3＝5\)」と同じだね。
こんなふうに、
もし指数法則を知らなくても、今まで習った知識で計算することもできる よね。
くまごろうここから先累乗を含めた整式を掛けたりするときに、
指数法則を知っていればパッパッと計算できて便利だからなんだ。
とても大変になる。頑張って覚えよう。
②も試してみよう。
\((a^2)^3＝a^{2×3}\)
\((a×a)×(a×a)×(a×a)\)
\(＝a×a×a×a×a×a\)
\(＝a^6\)
確かに、答えの指数「6」は、累乗の指数と、それをさらに累乗するときの指数をかけた「\(２×3\)」と同じだね。
累乗をさらに累乗したときは、答えの指数は
指数同士をかけたものなんだね。
③はどうかな？
\((aｂ)^2＝a^2ｂ^2\)
\((aｂ)×(aｂ)\)
\(＝a×ｂ×a×ｂ\)
\(＝a^2×ｂ^2\)
\(＝a^2ｂ^2\)
ある積の累乗は、その指数をそれぞれもつ
累乗の積と同じなんだね。
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