数学A

高校数学Ⅰ「部分集合・共通部分・和集合」それぞれの例をわかりやすくイラストで解説!記号の覚え方もあるからもう迷わない!

集合と要素については分かったかな?

このページでは部分集合・共通部分・和集合について学習するよ。
ここも、言葉だけだとピンとこないけど、例を考えてみればわかりやすいよ!

yumineko
yumineko
いやいや、集合と要素って?というときは先にココを読もう!

教科書に書かれている「部分集合・共通部分・和集合」の説明は?

教科書の説明

集合Aのすべての要素が集合Bの要素になっているとき、AをBの部分集合といい、A⊂BまたはB⊃Aで表す。このとき、AはBに含まれる、または、BはAを含む という。
集合A、Bのどちらにも属する要素全体の集合をAとBの共通部分といい、A∩Bで表す。
集合A、Bの少なくとも一方に属する要素全体の集合をAとBの和集合といい、A∪Bで表す。
要素をもたない集合を空集合といい、記号øで表す。


またわけのわからない言葉ばかり出てきた!記号もまるで間違い探しレベルだよ(泣)

くまごろう
くまごろう
たしかに。
ここの記号は上下左右の向きがどれだったか思い出せなくて困る人が多いよ。

それでは解説していくよ。

「部分集合・共通部分・和集合」をザックリ説明すると

ザックリいうと
グループ同士の関係を表す言葉!

「集合A」とか「集合B」とか呼ばれている「集合」というのは、
つまりは「グループみたいなもの」だったよね。

この集合Aとか集合Bとか呼ばれているグループ同士が、どんな関係なのか?によって、「部分集合とか共通部分、和集合」なんていう色んな呼び方をしているだけ なんだ

この「グループ同士がどんな関係なのか?」を表すのに便利なのが、「ベン図」だよ。
ベン図のイラスト

ベン図・・・・?
不思議な名前だね。

くまごろう
くまごろう
「この図を描いたら関係性がわかりやすいじゃん!」と、発見した人の名前がベンさんだから「ベン図」と言うんだよ(笑)


それでは、それぞれの言葉を例にたとえながら解説していくよ。

部分集合とは?

教科書くん
教科書くん
集合Aのすべての要素が集合Bの要素になっているとき、AをBの部分集合といい・・

くまごろう
くまごろう
通訳するよ。「Aグループのメンバーが全員Bグループでもある」なら、AグループはBグループの「部分集合」と呼ぶよー。 と言ってるんだ。

学校のクラスで例えてみよう。

Bグループというのは「1年1組」のこと。

Aグループというのは「1年1組の2班」のこととするよ。

Aグループの「1年1組の2班の生徒たち」は、同時に全員がBグループの「1年1組の生徒」でもあるよね。

Aグループのメンバー全員が、Bグループのメンバーでもあるという関係だね。

くまごろう
くまごろう
そんな関係を、「部分集合」と呼ぶよ、ということ。
ベン図にすると、こんな感じ。

続けるよ。

教科書くん
教科書くん
・・A⊂BまたはB⊃Aで表す。

くまごろう
くまごろう
この関係を記号で表す方法もあって、A⊂B、またはB⊃Aと書くよ、と言っているんだね。

なるほど。
言っていることは分かったけど、記号の向きが覚えづらいな・・

このとき、輪っかが開いている側が親玉 グループだね。輪っかの開いてる側が親玉グループ側になっていれば並び順や⊂の向き(右向き・左向き)はどちらでもいいんだ。

 

くまごろう
くまごろう
こんなイメージかな。
親玉グループが、子分グループをぐるっと囲って捕まえているようなイメージだね。


共通部分とは?


教科書くん
教科書くん
集合A、Bのどちらにも属する要素全体の集合をAとBの共通部分といい、A∩Bで表す。

くまごろう
くまごろう
コレは「グループAでもあるし、グループBでもあるという人たちの集団のことを共通部分って呼ぶよー」という意味だよ。

学校のクラスで考えてみよう。

クラスの生徒の中で、
「運動神経がいい子(体育が5)」を「Aグループ」として、
「頭がいい子(テスト平均が90点以上)」を「Bグループ」としてみよう。

くまごろう
くまごろう
こんなとき、「体育の成績は5で、さらにテストの平均も90点以上を取っちゃう」文武両道タイプの子っているよね。

つまり、「運動神経もいいし、なおかつ頭もいい」俗に言う「出来杉君」的な子たちだね。

これって、「運動神経がいいAグループ」と、「頭がいいBグループ」が重なっているイメージなんだ。

この「重なっている部分」を「共通部分」と呼ぶ、ということ だよ。

簡単だね。

記号で表すときは、「A∩B」と書けばいいんだ。
(読み方は 「AかつB」)

くまごろう
くまごろう
記号∩のイメージは、限られた
メンバーだけでくるまっているイメージかな。

くまごろう
くまごろう
部分集合との違いは、「ひとつのグループが、もうひとつのグループにすっぽり入っているかどうか」だね。


和集合とは?例にたとえて解説!

では

教科書くん
教科書くん
和集合:集合A、Bの少なくとも一方に属する要素全体の集合

くまごろう
くまごろう
これは「運動神経がいいか、頭がいいか、の少なくてもどっちかの子達」
ということを言ってるんだ。

 記号では、A∪Bと書きます。
(読み方は AまたはB)

このとき注意が必要なのは、「少なくてもどちらか」なので、運動神経もよくてなおかつ頭がいい子ももちろん入るよ。大いに越したことはないということなんだ。
だって、もし君が友達に、「頭がいい」または「運動神経抜群」の男の子を紹介して!と言われたら、「「頭が良くてなおかつ運動神経抜群」の男の子はダメか・・」なんて考えないよね(笑)


くまごろう
くまごろう
記号∪は皆ひっくるめて、ぐるっと囲っているイメージだね。

空集合とは?

 

最後に、

教科書くん
教科書くん
空集合:要素をもたない集合

くまごろう
くまごろう
簡単に言えば「メンバーがいない」「該当者がいない」グループのことだよ。空っぽだから、空集合なんだね。

例えば1年1組の生徒には「英検準1級を持っている生徒」がゼロならば、
「英検準1級を持っている」グループは空集合だね。
空集合は ø と書くよ。
(読み方は「ファイ」)

 

ABOUT ME
yumineko
2児の母。2019年の長女の高校受験時、訳あって塾には行かずに自宅学習のみで挑戦することになり、教科書をイチから一緒に読み直しながら勉強を見た結果、偏差値20上昇。 志望校にトップ10位内で合格を果たす。 勉強をみるにあたって感じたのは、教科書の説明には子供には分かりづらい部分が多く、子供にイメージしやすく噛み砕いて説明するのがとても有効だということ。 同じように教科書の内容が分かりづらいと感じている子供たちの ヒントになれば、との思いで「教科書を分かりやすく通訳するサイト」創設。

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